פתרון מבחן מתכונת מס' 21. פתרון שאלה 1 נסמן: x מהירות ההליכה של נועם. y מהירות ההליכה של יובל. נועם 2.5x 2.5 x יובל בתנועה יובל במנוחה משוואה I:

Transkript

1 פתרון מבחן מתכונת מס' פתרון שאלה נסמן: מהירות ההליכה של נועם. y מהירות ההליכה של יובל. מהירות זמן דרך נועם A 5 A y y יובל בתנועה 6 יובל במנוחה A y + 6 משוואה I: נועם ויובל שהו במשך אותו זמן בדרך: y y 7y.5 y I

2 נרכז את הנתונים על זמן תנועה לאורך קילומטר אחד בטבלה: מהירות זמן דרך נועם y y יובל יובל עובר קילומטר אחד ב- 5 דקות פחות מנועם. כלומר: משוואה :II 5 6 y y y y y y y y y נציב משוואה I במשוואה :II y y 8y y 4y y y ( y) y 6 [ ] y y 6 לא ייתכן 6 4 תשובה: מהירות ההליכה של נועם: 4 קמ ש. מהירות ההליכה של יובל: 6 קמ ש. צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית.

3 5 n... < 4 6 n n + < <.5 <.57 P + פתרון שאלה. צ ל כי לכל n טבעי מתקיים:, n כלומר, עבור k טבעי כלשהו מתקיים: 5 k... < 4 6 k k + נבדוק נכונות הטענה עבור n. הטענה נכונה עבור n. נניח נכונות הטענה עבור k נוכיח נכונות הטענה עבור + k. n 5 k k k k + k + * צ ל: על-פי הנחת האינדוקציה, נחליף את הביטוי * בביטוי שערכו גדול יותר, אם כיוון האי-שוויון נשמר או k + < k + k + k + הופך לשוויון, הטענה הוכחה. נותר להוכיח כי: הערה: ידוע כי: k + k + k לכן: + k + k + k + k + k + k + k + k + צ ל: כלומר נותר להוכיח: נכפול במכנה משותף. המכנים חיוביים ולכן אין שינוי בכיוון האי-שוויון k + k + k + ( k )( k ) ( k ) ( ) צ ל: k 8k 4k 8k 4 צ ל: < 4 P נכון תמיד.

4 משפט סוגר: הראינו שהטענה נכונה עבור n, ומהנחת נכונות הטענה עבור k נכונה עבור + k. n לכן, על-פי אקסיומת האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי. n הראינו שהיא * n+ n א. נתונה הסדרה: 5. b n מוגדרת על-פי הנתון: הסדרה ** b n n + p () b n+ n+ + p כלומר: () b n+ b n וכמו כן בדרך נוספת: b n הוא סדרה הנדסית אשר מנתה. כלומר נשווה את הביטויים )( ו-) ( + p b n+ n ונקבל: * ** נציב על-פי הנתון: p ( + p) n p + p n 5 p n n. 5 p + b + ( + p) ב. 8 b < 8 5 n( n + ) n + n + < Y < n + n > n + n + ג. צ"ל: על פי הנתון: n מספר טבעי. סכום שלושה מספרים חיוביים נותן תוצאה חיובית. לכן מתקיים לכל n טבעי. צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית.

5 פתרון שאלה ברנולי: נוסחת n P k k P k P n( ) ( ) נוסחה: P ( B A ) P ( B / A ) P ( A ) n k נסמן: - A מועמד עובר בהצלחה את מבחן הקבלה - B מועמד עובר בהצלחה את הריאיון P( B A) P( A). א.. נתון: P( B / A). 8 P( B A).496 תשובה:.496 P P לכל היותר 8 (. ) (. ) (. 496) (. 54) אחד יתקבל בדיוק אחד P התקבל היותר לכל אחד התקבל. n 5 P ( B / A ). 8 אחד לפחות P ). ( ). ( יעבור ריאיון ב. נתון:

6 D C פתרון שאלה 4 א. AB DC נתון E O F משפט תלס DO OB CO OA G DO DB CO CA A B נתון, המשכי מקבילים EO AB EO משפט תלס AB DO DB נתון, המשכי מקבילים OF AB OF משפט תלס AB CO CA העברה OE AB OF AB AB AB גודל שווה לעצמו EOOF מ.ש.ל. א. נתון OG BC ב. EG GB קטע במשולש היוצא מאמצע צלע אחת ומקביל לשלישית חוצה גם את הצלע השנייה. צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית.

7 DC נתון: ג. AB יחסים על-פי משפט תלס יחסים על-פי משפט תלס על-פי סעיף א. מ.ש.ל. ג. DC AB DO DB EO AB DO OB DO DB EO EO EO OF EF 4

8 F A D פתרון שאלה 5 BD AC נתון א. BDC 9 B E C.BC תיכון לצלע DE נתון, BE EC DE BE EC תיכון ליתר במשולש ישר-זווית שווה למחצית היתר. נתון + הצבה FDB EDB זוויות שוות מול צלעות שוות ב- DEB DBE זווית מתחלפות שוות FDB DBE FD BC מ.ש.ל. הוכח כא FD BC ב. FD משפט תלס BC AD AC BC BE + EC BE DE תיכון ליתר במשולש ישר-זויות BC DE FD DE FD מ.ש.ל. DE AD AC AD AC צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית.

9 ג. ABD נתון 9 ADB נתון AB AD הניצב מול זווית בת במשולש ישר-זווית שווה למחצית היתר. AD X הצבה 6 ס"מ BD נתון על-פי משפט פיתגורס ב- ABD 6 + ( ) 6 AD 6.9 ס"מ AB 5 ס"מ DE נתון משפט פיתגורס ב- BDC 6 + DC 8 ס"מ DC AC נציב בהתאם להוכחה בסעיף ב. FD FD. FD., AB, AD תשובה:

10 β B m פתרון שאלה 6 נתבונן ב- BOD. OD BD רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה. tn β OD m OD m tn β A O β 9 β 9 β E D C m cos β OB OB m cos β AO OD OE רדיוסים לכן נקבל כי: AB AO + OB m tn β + m cos β נתבונן ב- AOE. על-פי משפט הסינוסים: AE tn m β sin β sin 9 ( β ) ( β ) sin 9 cos β sin β m sin β cos β m tn β sin β cos β sin β AE m tn β sin β cos β cos β cos β sin β m AE m tn β AB sin β AO, + AB OB m tn β תשובה: + cos β cos β צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית.

11 פתרון שאלה 7 ( ) f f ( ) + 4 ( + ) נתונה הפונקציה א. נמצא את שיפוע המשיק כאשר ( 4 + )( + ) 4( + )( 4 + ) 4 ( + ) ( + ) ( + ) f ( ) m 6 6 והוא אינו תלוי ב-. שיפוע המשיק הוא ב. נמצא את משוואת המשיק כאשר ( ) + + y ( ) f 4 + y + 4 y המשיק פוגש את ציר ה- y 4 משוואת המשיק: + y

12 ( ) g ( ) ( + ) ( ) + ( + ) ( + ) + g 4 4 g ( ) + 4 ( + ) ג. נתונה הפונקציה כלומר: f ( ) d g( ) f d + ( ) + d מבוקש S 4 4 צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית.

13 ק 9 AM פתרון שאלה 8 נסמן: CM ומכאן: נתון: 9 ק מ BC, לכן, על-פי משפט פיתגורס ב-. MB + 8 : BCM נסמן: y המסלול BMA כפונקציה של זמן: מהירות זמן דרך B M M + 8 A + 8 V.6V V.6V A + 8 y + V.6V y V + 8.6V נגזור לקבלת מינימום: ק M C "מ B.6V V + 8 : V > ( ) : < < >.75 y בדיקת מינימום: מינימום y ] Z תשובה: הנקודה M צריכה להימצא במרחק.75 ק מ מהנקודה C, כדי שזמן הנסיעה של הג יפ יהיה מינימלי. +

14 L פתרון שאלה 9 א. - גובה החרוט ריבוע רדיוס המעגל )פיתגורס(: R L V πr נפח החרוט: R לכן מקסימלי. V( ) π L V'( ) π L L ( ) V''( ) π 6 V'' L ± L L Y L π 6L < תשובה: גובה החרוט: sin AO cos L BABO OB L AO Lsin OB L cos ב. נסמן: V( ) π ( L cos ) Lsin L π cos sin V'( ) πl cossin + cos cos sin + cos cos sin cos 9 + 8k tn 9 לא יתכן tn צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 4

15 5.6 זווית חדה תשובה: 5.6 נבדוק מקסימום באמצעות טבלה 5.6 V'() + V() מקסימום V( ) L L L L π π L ג. נבטא את נפח הגוף עבור ( ). 8πL נפח הגוף עבור 5. 6 V( ) πl ( cos. ) sin.. L π תשובה:. 8πL 5

16 פתרון מבחן מתכונת מס' פתרון שאלה כמות התמיסה ריכוז הכוהל כוהל נקי התחלה.5 )5%(.5 הוצאה 5.5 I לאחר הוצאה I נחשב ריכוז חדש הוצאה 6 II A A לאחר הוצאה II נחשב ריכוז חדש הערה: בכל פעם הוצאה כמות והוכנסה אותה כמות, ולכן כמות התמיסה נשארת בכל מקרה. A , 5% כלומר: המשוואה: ± 7 Z ,. ] 8 לא ייתכן משום שהוצאה כמות גדולה מ- ליטרים בפעם הראשונה. תשובה: כמות התמיסה בהתחלה היא 8 ליטרים. צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 6

17 פתרון שאלה n הוא סדרה חשבונית שהפרשה הוא 4. +, n+ כלומר n. א. נתון 4. n n+ באמצעות על-פי הכלל נבטא את b n n + n+ + n+ n+, נתון: n+ + 4 n n + 8 b + b n n n n n+ n+ n n n n b + 4 b + ( + 4) n+ n n+ n+ n n כלומר, b n הוא סדרה חשבונית: נוכיח כי b n+ - b n n n - נוסחה: b n הוא, הפרש הסדרה n + (n-)d b + 7, נתון: 5 b תשובה: 7 נוסחה: S n n n d [ + ( ) ] :n כפונקציה של b n ב. נוסחה ל- b n 7 + (n - ) b n n (n - כלומר ) 4, n ג. נתון 8 מפתרון המשוואה נקבל: n מספר שלם 5 5 S [ ] n n ( ) n + + n 7. n 5 מספר שלם צ ל:, n כלומר, עבור k טבעי כלשהו מתקיים: K 5 מספר שלם A נבדוק נכונות הטענה עבור n. הטענה נכונה עבור n. נניח נכונות הטענה עבור k 7

18 נוכיח נכונות הטענה עבור + k. n k + 5 צ ל: מספר שלם על-פי נתון ( ) ( ) k k k k 7 7 k + k + k { 5 שלם לפי ההנחה k 7 A + 5 k 7 k מספר שלם 5 k נותר להוכיח: אינדוקציה נוספת: נבדוק נכונות הטענה עבור k. 7 5, k כלומר, עבור t טבעי כלשהו: הטענה נכונה עבור k. נניח נכונות הטענה עבור t t t 7 5 מספר שלם B נוכיח נכונות הטענה עבור + t. k 7 5 t+ t+ צ ל: מספר שלם הוכחה: t t t t t t מספר שלם 7 + B שלם על-פי ההנחה משפט סוגר: הראינו שהטענה נכונה עבור n, ומהנחת נכונותה עבור k + k. n לכן, על-פי אקסיומת האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי. n הראינו שהיא נכונה עבור צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 8

19 פתרון שאלה הטלת קוביה בחירת עמדה )קשת גדולה( -6 )קשת קטנה( החטיא פגע החטיא פגע ) פגע P( א. קשת קטנה P פגע. 6 ב. 9

20 C E A B D F פתרון שאלה 4 א. צ"ל: AB EF הוכחה: נתבונן ב- ADB וב- EDF AD DE נתון משולש שווה שוקיים BD DF נתון משולש שווה שוקיים EDB הצבה 9 ADE BDF נתון משולש ישר זווית סכום זוויות ADB EDF 9 + )צ.ז.צ( ADB EDF AB EF צלעות מתאימות במשולשים חופפים ב. 9 ABC נתון DFE DBA הצבה + זוויות מתאימות במשולשים חופפים נתון משולש ישר זווית ושווה שוקיים DFB 45 FBD BFE 45 - חיסור זוויות CBF חיבור זוויות CBF + BFE 8 ג. מתוצאות סעיף ב' נקבל EF CB זוויות חד-צדדיות שסכומן 8 AB EF הוכח בסעיף א'. AB CB נתון EF CB כלל המעבר BCEF מקבילית, אם במרובע זוג צלעות נגדיות מקבילות ושוות המרובע הוא מקבילית. צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית.

21 פתרון שאלה 5 A 8-8- K B נתון: המרובע KBCL בר-חסימה במרובע חסום במעגל BKL + 8 BCL סכום הזווית הנגדית הוא 8 D L 8- C BKL הצבה BCL 8 חישוב DKL 8 זוויות צמודות DAL 8 זוויות הקפיות על אותה קשת DL שוות. AD BC זוויות מתחלפות שוות. מ.ש.ל.

22 פתרון שאלה 6 א. נתון: ABAC B 9 9 A 8 O 9 F D C S BCA AF בניית עזר: נחבר את A ל- D )המשך ) BF על המעגל. 9 SBAD זווית היקפית הנשענת על קוטר SADB SBCA זוויות היקפיות על אותה קשת ABC סכום זוויות ב- SBAC 8 ABD סכום זוויות ב- SABD 9 ABC סכום זוויות ב- SDBC 9 BFC זווית חיצונית ל- SAFB 9 o נתבונן ב- AFB : זהויות sin( ) sin sin(9 ) cos AB sin 9 sin 9 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) sin 9 sin 9 AB AB sin 9 cos cos AB cos נתבונן ב- BAC : AB sin BC sin AB BC sin sin 8 ( ) cos sin cos sin BC cos cos צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית.

23 A רדיוס המעגל החסום: M מרכז המעגל החסום הוא נקודת מפגש חוצי זוויות המשולש. B M C SABM S MBK במשולש שווה-שוקיים מרכז המעגל החסום ומרכז המעגל החוסם BK BC cos MK tn cos נמצאים על הגובה לבסיס ולכן הוא גם תיכון. נתבונן ב- MBK : MK רדיוס המעגל החסום. MK cos tn tn ב. נתון: BC R BC cos R cos sin( 8 ) sin r MK cos tn מסעיף קודם: R r 5 נתון: R r cos : cos tn cos sin sin cos tn 5 sin tn sin sin כלומר: cos sin cos. תשובה: 8

24 . y b b פתרון שאלה 7 א. נתונה הפונקציה: על-פי הנתון, האסימפטוטות נחתכות בנקודה ), ), כלומר: b 4 b היא אסימפטוטה אנכית y היא אסימפטוטה אופקית. נציב במכנה ונשווה לאפס: b נקבל משוואה I: אסימפטוטה אופקית: lim + b b y lim lim Z ± ± b b ] lim b b b על-פי הנתון, נקבל משוואה,II כלומר: b b : ( ) b לא ייתכן תשובה:. b צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 4

25 f ( ) ב. הפונקציה: ( ) f ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) תחום ההגדרה: > או < > נמצא את נגזרת הפונקציה: 4 f ( ) < ( ) לכל המכנה ב- ( f ( תמיד חיובי, לכן סימן הנגזרת תלוי במונה. < 4 לכל, לכן הפונקציה יורדת לכל > או <. ג. 5

26 אסמימפטוטות אופקיות: ± y, אסימפטוטה אנכית: הפונקציה יורדת לכל > או <. 8 8 * d 4 4 ד ( 8 8).99 * אינטגרל באמצעות זיהוי נגזרת פנימית ונגזרת חיצונית או אינטגרל בהצבה: u du d du d d du u + c u תשובה: השטח.99. צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 6

27 ( ) ( ) ( ). ( ) פתרון שאלה 8 f נקודת מקסימום מקומי של א. I נתון: כלומר נתון: ( ) f. ( ) f <. g( ) f ( ) נתון: g היא נקודת מינימום מקומי של נראה כי. ( ) ( ) f ( ) ( ) f g g f f f g ( ) סימן בלבד ( ) { שלילי היא נקודה החשודה כקיצון. כלומר ( ) f < נתון: g > ) ( )סימן בלבד( נקודת מינימום מקומי. כלומר. f ( ) נקודת מינימום מקומי של א. II נתון: כלומר נתון: ( ) f. ( ) f >.. g( ) היא מקסימום מקומי של נראה כי ( ) הראנו קודם כי g 7

28 ( ) נותר להראות כי < g f g ( ) סימן בלבד ( ) חיובי ) ( סימן בלבד g <. )g ) היא נקודת מקסימום מקומי של כלומר ( ) 4 4 ( ) ב. נתונה הפונקציה + 5 f ( ) [ ] ( ) f 4 (,5 ( נקודת מקסימום ( ) f 4 < f ± 8 > ) ( ),4 ( נקודת מינימום [ (,4 ( נקודת מינימום g ( ) f ( ) f 4 4 נמצא נקודות קיצון: הנקודות:,4) (,4) (,5) ( על פי סעיף א:, נקודת מינימום נקבל: 5 צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 8

29 נקודות מקסימום., 4,, 4 ג. על סמך סעיף א: כמו כן נתון כי > ) P( לכל. P( ) m(,5) min, 5 m( ) min, 5 m(,5) גרף אפשרי: 9

30 פתרון שאלה 9 נסמן ב- את רדיוס הבסיס. נפח הגליל: V πr h נתון: V 8π π כלומר: h 8 π h נחלץ את : h 8 P( ) π + π 8 P( ) π + 6π P'( ) 4π 6π 4π 6π : π 4 6 : 4 54 Y Y Y P''( ) 4π + 4π P''(. 77) > שטח פני הגליל נגזור לקבלת מינימום: ולכן מינימלי. תשובה:.77 ס"מ צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית.

31 פתרון מבחן מתכונת מס' פתרון שאלה נסמן: מהירות הנסיעה של רוכב האופניים. y זמן הנסיעה עד הפגישה. נרכז את נתוני השאלה בטבלה: מהירות זמן דרך משאית y y אופניים y y עד הפגישה עד הפגישה נסעו רוכב האופניים ונהג המשאית את כל המרחק, כלומר: y + y 4 4y 4 : 4 y 6 Z ] 8 6 y משאית 6 y אופניים כלומר, עד הפגישה: נהג המשאית נסע 8 ק מ. רוכב האופניים נסע 6 ק מ. נשתמש בנתון זה לחישוב מרחק הנסיעה נשתמש בנתון זה לבניית טבלה המתארת את הדרך חזרה.

32 דרך זמן מהירות + משאית אופניים שעות יותר בדרך: 4 המשוואה: האופניים היו 4( 5)( מכנה משותף ( + 4( + ) 7( 5) + 7( 5)( + ) : 7 + 5, 5 ± 5 Z 6 ] מהירות היא מספר חיובי. תשובה: מהירות המשאית בהתחלה: 6 קמ ש צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית.

33 , n+ n פתרון שאלה כלומר: n n +. א. נתון כי:. q הוא סדרה הנדסית. מנת הסדרה n b n n + n+ + n+, נתון n n n n b b n n n n n n n n n n b + b n n n n n n על-פי הכלל: כלומר, b n הוא סדרה הנדסית: נוכיח כי b n n+ 7 bn n 9 מנת הסדרה b היא. n.b 6, נתון 9 9 b n כפונקציה של n על-פי נוסחת האיבר בסדרה הנדסית ב. נוסחה ל ( ) n b n 6 9 n, n כלומר : 79 n 6 n ( ) ( ) ( ) n 7 ג. נחשב על-פי נוסחת הסכום: נוסחה: q n n 7 נוסחה: 6 9 ( ) n S 7 4. ( q ) S n q הערה: מאחר שמנת הסדרה b היא ניתן לחשב בקירוב את סכום האיברים ללא תלות במספר n האיברים על-פי נוסחת הסכום לסדרה הנדסית אינסופית יורדת, כלומר: נוסחה: S q 6 S 9 4.

34 . > טבעי ו- n לכל ( ) n. צ ל: + n + נבדוק נכונות הטענה עבור n. ( ) הטענה נכונה עבור n. ( ) k נניח נכונות הטענה עבור n, k כלומר, עבור k טבעי כלשהו מתקיים: + k + נוכיח נכונות הטענה עבור +k n. k + ( ) ( k ) צ ל: k ( ) ( ) הוכחה: k + ( )( ) + k + + k + עפ י הנחת האינדוקציה, נחליף את הביטוי ( + ( בביטוי קטן יותר ונקבל + + k + k + k + נותר להוכיח: נכון תמיד, > ו- k מספר טבעי. n הראינו שהיא נכונה עבור k k משפט סוגר: הראינו שהטענה נכונה עבור n, ומהנחת נכונותה עבור k + k. n לכן, על-פי אקסיומת האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי. צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 4

35 P( A B) 7 4 P( A B) 4 פתרון שאלה נסמן מאורעות: - A עבר בהצלחה מבחן ראשון. - B עבר בהצלחה מבחן שני. או נתון: N(S) N( A) 8 N( B) 5 P( A B) 7 4 P( A) + P( B) P( A B) P( A B) P( A B) P( A B) 9 4 N( A B) 9 4 N( A B) 45 P( B / A) P( A / B) 4 4 א. ב. ג. ד. סה"כ A B סה"כ 5

36 F A B פתרון שאלה 4 צ"ל: BEDF ריבוע הוכחה: D 45 O E 45 C AB DC נתון AD BC נתון AC BD בטרפז שווה-שוקיים האלכסונים שווים. BCD( ADC צ.ז.צ( AC BD נתון שהאלכסונים מאונכים 45 BDC ACD מתקבל משולש ישר זווית ושווה שוקיים OE DB DO OB נתון אנך אמצעי BDE במשולש שווה שוקיים הגובה מתלכד עם התיכון. DE BE חוצה-זווית הראש במשולש שווה שוקיים OEB 45 OED תיכון ליתר שווה למחצית היתר DO BO OE FE AC זוויות מתאימות המשכי מקבילים AF EC מקבילית, מרובע שבו כל זוג צלעות נגדיות מקבילות AFEC צלעות נגדיות במקבילית FE AC כלל מעבר BD FE BEDF בריבוע, האלכסונים מאונכים זה לזה, חוצים זה את זה ושווים זה לזה. צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 6

37 A M B פתרון שאלה 5 א. נתון: AD BC AB DC E F בנית עזר: EF קטע אמצעים צ"ל: EF AD D N G C הוכחה: EF קטע אמצעים בטרפז שווה AB + DC למחצית סכום הבסיסים. AB + DC AD + BC במרובע חוסם מעגל סכום זוג אחד של צלעות נגדיות שווה לסכום הזוג השני. AD BC נתון AB + DC AD EF הצבה AD EF AD מ.ש.ל. ב. על פי תוצאות סעיף א' נקבל ס"מ EF AD BC AB DC נתון 5 ABC נתון D C זוויות חד צדדיות בין מקבילים + זווית ליד הבסיס שוות. - MN קוטר המעגל הוא המרחק בין הבסיסים על פי המשפט רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה. BG MN קוטר המעגל שווה לגובה הטרפז. ב- BGC BG ניצב מול זווית בת שווה למחצית היתר. 5 ס"מ תשובה:.5 ס"מ R 7

38 A פתרון שאלה 6 נתבונן ב- ADC : cotα DC b B M β β D b α N α C DC bcotα cot β BD b BD b cot β נתבונן ב- ADB : או S ABC AD BC b( b cotα + bcot β ) b ( cotα + cot β ) b sin( α + β ) א. sinα sin β o SAND S AMD 9 ב. משפט. זווית היקפית הנשענת על קוטר שווה ל- 9. סכום הזוויות הנגדיות במרובע חסום במעגל הוא 8 9 MDB, S מכאן: o β ובאותו האופן NDC 9 o o נתון: 9 ADC, S ולכן S α SADM β ו- SADN α S MDN α + β לפי משפט, S BAC 8 ( α + β ) : ABC DN DN bcosα cosα b MD MD bcos β cos β b אפשרות נוספת: נתבונן ב- נתבונן ב- AND : נתבונן ב- ADM : צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 8

39 S MND DN MD sin SMDN b cosα b cos β sin( α + β ) יחס השטחים נצמצם בהתאם ( b cosα cos β sin( α + β MND )) ABC sin( α + β ) b sinα sin β sin α sin β cosα cos β sinα sin β 4 על-פי נוסחה לזווית כפולה 9

40 m. f ( ) ( ) m m m ( ) m( ) ( m ) f m m m ( ) m( ) ( m ) f 5 m פתרון שאלה 7 א. נתונה הפונקציה f ( ) נתון 5 ( ) m m m m שים לב: ( m) 5 m 5 ( m )( m ) 5 + ( ) ( ) תשובה: m m 5 ב. הפונקציה: f 4 f f ( ) 4 4 תחום ההגדרה: 4 ± 4 צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 4

41 תחומי עלייה ותחומי ירידה: ( ) ( 4 ) ( 4 ) f + ( ) f ( ) הביטויים הללו חיוביים לכל ± 4, ( ( היא ביטוי שלילי לכל בתחום ההגדרה. או 4 < 4 4 < < > או > 4 ( ) > לכן נקבל כי < f תחומי ירידה: 5 m 5 f ( ) ( ) 5 ג. על פי הנתון: g f ( ) ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) g f f f 5 ( ) ( ) 4

42 y y A S S y פתרון שאלה 8 א. נמצא את נקודות החיתוך בין הפרבולות: ( ) (, ) A, 4 תשובה: S הוא השטח הכלוא בין הגרפים בין הנקודה לנקודה : ב. S ( ) d ( ) d ( ) 8 4, S נחשב את סכום השטחים, S + S שהוא למעשה השטח בין גרף הפונקציה כדי לחשב את y ובין ציר ה- בין הנקודות, :(,) ( ) ( ) S + S ( ) d 6 S מהשטח הכולל S + S ונקבל: S על-ידי חיסור נחשב את S צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 4

43 S S 8 ( ) π ( ) V π d + d 4 4 ( ) π ( ) π d + + d π + π נחשב את יחס השטחים: ג. חשוב נפח גוף סיבוב: π ( ) π π π + π ( + )

44 פתרון שאלה 9 AB נתון: AC A נסמן: S ABE S ECA זווית היקפית על אותה קשת E o נתון כי: 7 ABC S S EBC 7 o נתבונן ב- ABE : B 7 o o 7 7 o C AE על פי משפט הסינוסים: R sin AE Rsin נתבונן ב- EBC : EC R sin 7 ( ) ( ) EC Rsin 7 EB R sin 7 + ( ) ( ) EB Rsin 7 + f ( ) EA + EB + EC ( ) R + R ( ) + R ( + ) f sin sin 7 sin 7 ( ) ( ) R ( ) ( ) f cos cos 7 + cos 7 + α + β α β cosα cos β sin sin ( ) R cos sin 7sin הפונקציה שעבורה יש למצוא מקסימום: נשתמש בנוסחה: צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 44

45 o cos sin 7 sin : cos sin 7 tn tn sin 7 o 8.6 o 8.6 ( ) f + ( ) מקסימום f Z ] תשובה: עבור 8.6 A SABE הסכום EA + EB + EC הוא מקסימלי. 45

46 פתרון מבחן מתכונת מס' 4 פתרון שאלה נסמן: כמות הכוהל שהוצאה בהתחלה. כוהל נקי אחוז הכוהל כמות התמיסה 64 % 64 התחלה I הוצאה 64 A 64 A I I הוצאה הערה: כמות המים גדולה ב- 56% מכמות הכוהל, כלומר, כדי להשוות את כמות הכוהל לכמות המים בתמיסה אחרי הוצאות, יש להוסיף לכמות הכוהל 56%. A + 56% A 64 A המשוואה: A +.56A 64 A.56A 64 :.56 A 5 נציב את הביטוי ל- A מתוך הטבלה ונקבל: צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 46

47 , 8 +, ± 8 Z ] 4 לא ייתכן < 64. תשובה: בפעם הראשונה הוצאו 4 ליטרים כוהל. 47

48 b + + b b + + n n n+ n+ n ( ) ( ) b + q + q n n b + q + q n+ n+ פתרון שאלה + q + q n. א. נתון: n b n+ n+ ( b ) q b n n נוכיח כי הסדרה החדשה היא סדרה הנדסית: q. היא סדרה הנדסית. קיבלנו כי מנת הסדרה החדשה היא n נתון כי סדרת ה- q, b 6 ב. נתון: + q + q q 9, 66 b n n 6 n n n 5 : n 5 7 n n 5 ג. נתון: נוסחה: q n n צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 48

49 . צ ל כי לכל > n טבעי מתקיים: > n n + >.77 >.44, n כלומר, עבור k טבעי כלשהו מתקיים: נבדוק נכונות הטענה עבור n )נתון > n.) הטענה נכונה עבור n. נניח נכונות הטענה עבור k > k k נוכיח נכונות הטענה עבור + k. n > k k + k + צ ל: * על-פי הנחת האינדוקציה, נחליף את הביטוי * בביטוי קטן יותר. אם האי-שוויון שומר על כיוונו או הופך k + k + k + > k + לשוויון, הטענה הוכחה. נותר להוכיח: k k + + k + צ ל: ( ) k k + k צ ל: ( + ) k k k צ ל: n הראינו שהיא k + k k צ ל: k.k לכל k מספר טבעי ולכן > k משפט סוגר: הראינו שהטענה נכונה עבור n, ומהנחת נכונות הטענה עבור k נכונה עבור + k. n לכן, על-פי אקסיומת האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי. 49

50 פתרון שאלה לבן שחור 8 צהובים אדומים אפור 4 צהובים 6 אדומים אדומים א. בחירת כד כד לבן כד שחור כד אפור אדום צהוב אדום צהוב אדום צהוב נחשב את ההסתברות להוצאת כדור אדום. ) אדום P( נבחר הכד P האפור 6 הוצא כדור אדום ב. תשובה: בחירת כד לבן שחור אפור אדום צהוב אדום צהוב אדום צהוב נחבר את כל ענפי העץ המסתיימים בצבע אדום: ) אדום P( ) אדום P( 79 5 צהוב 9 9 אדום אדום צהוב אדום צהוב אדום צהוב אדום צהוב אדום צהוב 79 תשובה: 5 צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 5

51 A פתרון שאלה 4 AB AC נתון + הצבה F E B זווית בסיס במשולש שווה-שוקיים + הצבה C ABC סכום זווית במשולש A 8 - B D C DE AB נתון DF AC נתון מקבילית AEDF מרובע שבו כל זוג צלעות נגדיות מקבילות. זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים CED BFD 8 - חישוב זוויות ב- EDC FDB, בהתאמה. EDC FDB ED EC b מול זוויות שוות צלעות שוות + הצבה. AE AC - EC - b חיסור צלעות. AE FD - b צלעות נגדיות במקבילית שוות + העברה. FD + DE - b + b FD + DE AB מ.ש.ל. 5

52 פתרון שאלה 5 CE AB נתון DA AB נתון DAE CEB 9 DA CE זוויות מתאימות שוות. ABC שווה צלעות - נתון. AE EB גובה במשולש שווה צלעות הוא גם תיכון ADB הוא קטע אמצעים ב- EG על פי המשפט: קטע היוצא מאמצע צלע אחת במשולש ומקביל לשלישית חוצה גם את הצלע השניה. D C G A E B DG GB מ.ש.ל. צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 5

53 פתרון שאלה 6 A E β R O β B 4 5 β β 4 R D β 9 C רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה OE R SOEA 9 OD R SODC 9 נתון: S BAC β β B B B C 9 זוויות הבסיס: S DOC ולכן: β הקטע המחבר נקודה שיוצאים ממנה שני המשיקים למעגל עם מרכז המעגל חוצה את הזווית בין המשיקים o o 5

54 β כלומר: SEBO S OBD וכל אחת מהן שווה ל כמו כן:, BE BD על-פי המשפט: שני משיקים היוצאים מאותה נקודה למעגל שווים עד נקודת ההשקה β β DC נתבונן ב- DC R tn tn : ODC R β β BD R cot 45 cot BD R נתבונן ב- BOD : β β BC DC + BD R tn + R cot 45 4 לכן: AE נתבונן ב- AE R cot β cot β : AEO R AB AE + EB ולכן שוק המשולש: β AB R cot β + R cot 45 4 R R AB AO + OC + β cos sin β תשובה אפשרית נוספת: צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 54

55 y. (4,9) (5,9). ( t, t + 8t 7).. (,) (7,) y y m ונשווה ביניהם: פתרון שאלה 7 y א נשרטט את גרף הפונקציה: הפונקציה חותכת את ציר ה ( )( ) 7 y נקודת הקיצון: ( t, t 8t 7) 4; y m ( 4,9) נסמן נקודת השקה ב: + נמצא את שיפוע המשיק על-פי הנגזרת בנקודה זו ועל-פי הנוסחה שיפוע על-פי הנגזרת שיפוע על-פי הנוסחה y ( ) t + 8 t ( ) 9 t + 8t 7 t 8t + 6 m 5 t 5 t נשווה שיפועים לקבלת t: t 8t + 6 t + 8 ( t + 8)( 5 t) t 8t t t + t + 4 8t t 8t + 6 t t + 4 ( t )( t ) 6 4 t 6 t 4 y y 5 y 9 ( 6,5 ) ( 4,9) y ( t ) y ( t ) y נקודות ההשקה: שיפועי המשיקים: 55

56 משוואות המשיקים: משיק מקביל לציר ה- ומשוואתו: 9 y y y 5 4( 6) משיק S בין משיק לגרף הפונקציה בין הנקודות 4 ו- 5. ב. נחלק את חישוב השטח לשניים: S בין משיק לגרף הפונקציה בין הנקודות 5 ו S 9 ( 8 7) + d ( 8 + 6) d ( ) ( ) S d + 6 d S + S 5 4 y y -4+9 y צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 56

57 פתרון שאלה 8 א. נקודות חיתוך עם ציר : y, h( ) g( ) f ( ) + + A, A, A, ( ) + ב. התנהגות בסביבת הנקודה. סימון: שואפת מימין ל-.. שואפת משמאל ל- f ( ) + g( ) h( ) + y y y + y + y + תשובה: לפונקציה ( f ( מתאים גרף )( לפונקציה ( )g מתאים גרף )( לפונקציה ( )h מתאים גרף )( + ג. פונקציה )א(: y ( ) ( ) + 4 y 4 4 ( ) + 4 ] [ 4 תחום ההגדרה. 57

58 y B 4, 8 ( 4)( 4 ) 4 ( 4) 8 ( + ) ( + ) y y 6 8 נקודת מינימום: y 9 ( 6) C 6, 9 נקודת פיתול: 6 y + + y ד. קעורה כלפי מעלה U קעורה כלפי מעלה U קעורה כלפי מטה I קעורה כלפי מעלה: > או < < 6 קעורה כלפי מטה: 6 < f '( ) ה. על פי תוצאות סעיפים קודמים ניתן לראות לכן זוהי נקודת חיתוך עם ציר ה- f )' (4 (6 )'' f לכן זוהי נקודת קיצון ונגזרתה משנה סימן על פי הטבלה בסעיף קודם. לגרף הנגזרת אסימפטוטות: y, y' 4 גרף הנגזרת: 4 צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 58

59 4 f '( ) d f ( ) f ( 4) f ( 6) f ( ) + + f ( 4) f ( 6) 9 7 ו. תשובה: M ( ) f ( ) + M ( ) + + ז. אסימפטוטות: y, הפונקציה ( M ( היא הזזה של ( f ( על ציר ה- y יחידות למעלה. כלומר שיעור ה- של נקודת הקיצון ושל נקודת הפיתול נשאר כשהיה אולם שעור ה- y גדל ב- יחידות. כלומר: M ( ) min 4, + 8 פיתול 6, + 9 y 59

60 ( ) y y פתרון שאלה 9 א. נתונה הפונקציה: + 8 נתון כי: y ( ) נחשב את : ב. משוואת המשיק: y ( ) ( ) y 6 + y 8 y ג. נקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה- : (,6) 8 8 שטח המשולש שהמשיק יוצר עם ציר ה- : S נקודת החיתוך של הפונקציה עם ציר ה- : נחשב את השטח בין גרף הפונקציה לנקודות -, : ( 8) + d צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 6

61 ( ) ( ) ( 4 6) נחסר משטח זה את שטח המשולש שקיבלנו קודם לקבלת השטח המבוקש. מבוקש S ד. חישוב הנפח: π V π ( + 8) d π ( 8) d 6 ( ) d π ( ) d 7 4 π π ( ) π π 78 π

62 פתרון מבחן מתכונת מס' 5 פתרון שאלה נסמן מספר התרגילים שפתר נועם בשעה. נכניס את הנתונים לתוך טבלה. זמן עבודה מספר תרגילים בשעה - קצב סה כ תרגילים 4 4 נועם שלב א שלב ב נדב שלב ג נשווה בין זמן העבודה של נועם לזמן העבודה של נדב: ( + ) + ( + ) ( + ) + ( ) ( )( ) תשובה: נועם פתר 5 תרגילים בשעה. לא ייתכן צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 6

63 פתרון שאלה. א. נבדוק נכונות הטענה עבור n. 4! 4 4, n כלומר עבור k טבעי כלשהו מתקיים: הטענה נכונה עבור n )נתון n.) נניח נכונות הטענה עבור k k k k! k נוכיח נכונות הטענה עבור + k. n צ ל: * ( k ) ( ) ( ) k k k + k +! k + k! k k + k +! k + נחליף את הביטוי * על-פי הנחת האינדוקציה. ( k + ) ( ) ( ) נותר להוכיח: k + k! k k! k + k + ( k + ) ( )( ) צ ל: k! k k k + k! k + ( ) ( ) צ ל: תמיד נכון n הראינו שהיא נכונה k! k k! k ( + ) ( + ) משפט סוגר: הראינו כי הטענה נכונה עבור n, ומהנחת נכונותה עבור k עבור + k. n לכן, על-פי אקסיומת האינדוקציה המתמטית, הטענה נכונה לכל n טבעי. 6

64 9 ב. האיבר האחרון: האיבר הראשון: 5 5 כדי לחשב את המכפלה, נחשב את מכפלת 9 האיברים הראשונים ונחלק במכפלת 4 האיברים... : !9 4!4 4, הראשונים, כלומר:. נסמן: - איבר ראשון בסדרה ההנדסית ובסדרה החשבונית. q - שלושה איברים ראשונים בסדרה הנדסית:, q, q נבנה את המשוואות המתקבלות מן הנתונים: + q + q 4 I q + d II q + 6d III מחיבור משוואות III + II נקבל. q + q + 8d - ( 8 6 ) q 8 / q 8 q 8 ( q ) 8 * נציב ביטוי זה במשוואה I, נקבל: d d 4 + 8d 4 /: + 6d 8 נבודד משתנה d: נציב ביטוי זה במשוואה II ונקבל: צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 64

65 נחלק משוואה ( + q + q ) 4 I בביטוי * 8 ) - (q + q + q q ונקבל: + q + q 9q - 6 q - 8q + 7 (q - ) (q - 7) 7 q q בסדרה הנדסית תשובה: מנת הסדרה ההנדסית היא 7. 65

66 פתרון שאלה נסמן מאורעות: - A הצלחה במתכונת. - B הצלחה בבגרות. נתון: 5 N(S) N( A B) N( A B), P( A). P( B / A). 9 P( B A). 9 P( A) P( B A) P( B A). 7 P( A B) P( A ידוע כי (B A N( A B) P A. 8 B5P 4 A B P( A B) P( A / B). 8 P( B).. 4 א. ב. סה"כ B סה"כ צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 66

67 A פתרון שאלה 4 מרכז המעגל החסום במשולש הוא נקודת מפגש חוצי זוויות המשולש D 4 B y O C AC משפט חוצה-זווית BC C C AD. DB 9 B נתון משפט פיתגורס ב- ABC AB + BC AC. 4 ס"מ BD, ס"מ BC נתון AD הצבה AC y נציב ב-) ( וב-) ( בהתאמה y y ( ) ( + 4) + y Y: 8 ( 5)( + 4) לא ייתכן y 5 5 תשובה: 5 AD AC 5, 67

68 ב. AO חוצה-זווית על-פי המשפט שצוין לעיל משפט חוצה-זווית AD AC DO OC 5 5 DO OC DO מ.ש.ל. ב. OC ג. ב- BDC משפט פיתגורס DC OC t על-פי סעיף ב'. 4 + DC נסמן: DO t t + t 6 4t 6 4t 4 t. 6 תשובה: DO OC, צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 68

69 A פתרון שאלה 5 א. ב- ABG, BFG B F G E 9 D G ז. משותפת האלכסונים במעויין G 9 מאונכים זה לזה וחוצים זוויות. A הצבה A נתון 9 AEB זוויות קודקודיות + סכום זווית ב- AFE F F 9 C סכום זווית ב- ABG ABG 9 )ז.ז( מ.ש.ל. ABG ~ BFG ב. ב- AFE, BDE חישוב זוויות ב- AGD D 9 מסעיף א + חישוב זוויות ב- EBD EBD A נתון E E 9 AFE ~ BDE )ז.ז( מ.ש.ל. ג. נתון: 8 ס"מ AC, 6 ס"מ BD 4 ס"מ AG, ס"מ BG האלכסונים במעוין חוצים זה את זה. צ"ל: AF על פי משפט פיתגורס ב- AGD יחס הדמיון סעיף א. הצבה AD AD 5 BG FG AG BG 4 FG ס"מ FG.75 ס"מ.5 4 AF תשובה:.75 ס"מ AF 69

70 פתרון שאלה 6 B א. A F 6 4 M 7 E 8 D פ 8 פ פ 8 פשגיאה! הסגנון אינו מוגדר. פ 8 פשגיאה! הסגנון אינו מוגדר. C תיכונים במשולש מחלקים זה את זה ביחס :, החלק הגדול הוא החלק הקרוב לקודקוד לפי המשפט: BM CM 4 ME 7 MF AM 6 MD 8 נתבונן ב- MEC וב- MAC. נשתמש במשפט הקוסינוסים בשני המשולשים עבור S MCA זווית משותפת. נוסחה: c + b b cosγ + b c cosγ b משפט הקוסינוסים: נבודד cosγ ונקבל: צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 7

71 MEC MAC cos ( ) + 6 cos ( ) נשווה בין הביטויים ונקבל: AC תשובה:.4 AC ב. cos EMC sinbemc sin BEMC cosbamc ( ) 6 cosbamc BAMC BBMD S AFMD FMB BMD S + S 4 sin sin סמ"ר תשובה:.56 סמ"ר 7

72 B ג. על פי זוויות קודקודיות A F y S S S E z M y S z S S D S S S C BMF BMD DMC z S sin γ CME z y S sin AME y S sinβ FMA BM BM BM BM 4 BM β 5 BM γ 6 על פי מפגש תיכונים: CM MF AM MD y BM ME z תיכון מחלק משולש לשני משולשים שווי שטח )לשני המשולשים צלע וגובה לצלע זהים( מכאן נקבל S S S BMF FMA CME כלומר נקודת מפגש התיכונים מחלקת את המשולש ל- 6 משולשים שווי שטח. נסמן כל שטח משולש ב- S S S BFMD ABC S 6S לכן S ABC ד צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 7

73 פתרון שאלה 7 ( ) ( 6) 4 ' א. נתון: f ' כדי למצוא את ) f ( נבצע אינטגרל ל- (, f ( באמצעות זיהוי נגזרת פנימית ונגזרת חיצונית. כלומר ( 6 ) 4 d ( 6 ) 5 "ננחש" + c ונבדוק ע"י גזירה שאכן מתקבל הביטוי בתוך האינטגרנט או באמצעות שיטת ההצבה. u 6 נסמן: על-ידי גזירה של שני האגפים נקבל: du d du ולכן: d * du ( 6) d ( u) d ( u) 5( ) 4 5 u u du 5 + C ( 6) 5 + C 5 נציב :* ( ) ( 6) 5 f + C ( ) C C ( ) ( ) 5 נציב,( :)4 תשובה: 6 + f ( ) 4 6 ב. f ( ) [] 6 ± 4 y y ( 6) 5 + 7

74 נאפיין את סוג הנקודות באמצעות טבלה: < < < < < 4 4 > 4 y y פיתול מינימום + פיתול ] ] Z Z + מסקנות: ) ( 4, ) 4, ( נקודות פיתול. נקודת מינימום. 5 ( 6) + ( 6) ±. 84 Y 5 f ( ) ( 6) ג. + כאשר ) f ( (. 84, ) (. 84, ) y ד. גרף הפונקציה f() -4 4 צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 74

75 ה. על סמך הטבלה והתוצאות מסעיפים קודמים y f'() f '( ) ( 6) 4 הסבר: גרף הנגזרת מתאפס בנקודות ± 4, ועל פי תחומי חיוביות/שליליות המוצגים בטבלה בסעיף ב. 4 f '( ) d + f '( ) d 4 4 f ( ) f ( ) 4 f ( 4) f ( ) f ( ) + f ( 4) 6 f ( ) ו. 4) f( f( 4) חושב בסעיף ב. הערה: 75

76 y y 6 + פתרון שאלה 8 S שטח מקווקו )עליון(. א. נסמן: S שטח מנוקד )תחתון(. (, ) y מנוקד S S מקווקו ( ) 6 S 6 + d + + נבנה את הפונקציה כפונקציה של, המתארת את יחס השטחים, ועבורה נמצא מינימום, כלומר: ( ) + f + f ( ) ± ולכן > ( ) f ( ) מינימום f ] Z עבור יחס השטחים הוא מינימלי. + צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 76

77 h( ) 6 + ב. h''( ) 4 h'' < m h'' > min ( ) + ( 6 + ) h'( ) ( ) h'( ) h'( ) ±,. 46 m,. 46 min. תחום הגדרה:. נקודות קיצון: גרף הפונקציה: 77

78 y h'( ) +. אסימפטוטות: כאשר < h( ) יורדת לכן ) h'( שלילית ) h( עולה לכן ) h'( חיובית h < <, < < כאשר כאשר > h( ) יורדת לכן ) h'( שלילית גרף אפשרי של הנגזרת: y צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 78

79 min ( ) כלומר:, ( ),4 פתרון שאלה 9 א. נקודת המינימום f ( ) f + 5 נתון: נשתמש בשיטת ההצבה: או באמצעות "ניחוש" על פי זיהוי הנגזרת הפנימית והחיצונית ובדיקה שאכן מתקבל הביטוי בתוך האינטגרנט d C + 5 u נסמן: + 5 du נקבל: d ( ) מכאן: du d נבצע אינטגרל ל- ) f ( לקבלת ) f ( ונציב את התוצאות שקיבלנו. f ( ) du u ( u) du 5 u + + c ( ) f ( ) u + c f c נציב את הביטוי עבור u ונקבל: c לקבלת C נציב ),4 :( c c ( ) f תשובה:

80 . <, ביטוי חיובי לכל, ב. תחום הגדרה: > 5 + הפונקציה מוגדרת לכל. גרף הפונקציה מופיע בסעיף הבא לצורך חישוב שטח. y ג. משוואת המשיק בנקודת המינימום: 4 y גרף הפונקציה: y 4 נחשב את נפח גוף הסיבוב. ( ) ( ) ( ) V π f d π 4 d π d π 6d 4π 4π + 5 6π 4π + 5 6π g( ) y 5 ד. ) g( ) f '( f '( ). - S מסעיף קודם כאשר ל- ( f ( יש נקודת מינימום < f '( ), שלילית כאשר > f '( ), חיובית כאשר. נמצא את נקודת החיתוך בין ( )g לישר y 5 צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 8

81 + 5 Y ( ) : 5 5( ) ( ) בבדיקה אינו פתרון של המשוואה f ( ) + 5 S f d f f '( ) ( ) 4 ( ) + f ( )

82 פתרון מבחן מתכונת מס' 6 פתרון שאלה נסמן: כמות הכוהל שהוצאה בהתחלה. כמות התמיסה אחוז הכוהל כוהל נקי התחלה 64 % A A I הוצאה 64 I I הוצאה הערה: כמות המים גדולה ב- 56% מכמות הכוהל, כלומר, כדי להשוות את כמות הכוהל לכמות המים בתמיסה אחרי הוצאות, יש להוסיף לכמות הכוהל 56%. צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית., A + 56% A 64 - A המשוואה: A +.56A 64 - A.56A 64 :.56 A 5 נציב את הביטוי ל- A מתוך הטבלה ונקבל: , ± 8 Z ] 4 לא ייתכן < 64. תשובה: בפעם הראשונה הוצאו 4 ליטרים כוהל. 8

83 n n + n + n + ( ) - - פתרון שאלה נבדוק נכונות הטענה עבור n. הטענה נכונה עבור n.. א. צ ל: נניח נכונות הטענה עבור k, n כלומר, עבור k טבעי כלשהו מתקיים: k k + k + k + ( ) נוכיח נכונות הטענה עבור + k. n צ ל: k ( k + ) ( k + )( k + ) k + k נחליף ביטוי זה על-פי הנחת האינדוקציה k + k + k + k + k + k + ( )( ) ( k + ) ( k + ) ( k + )( k + ) 4 ( k + ) ( k + ) ) + k ( k + )( k + )( ביטוי חיובי נותר להוכיח: מכנה משותף: נותר להוכיח: ( k )( k ) ( k )( k ) ( k ) ( k )( k ) ( k )( k ) k - k - k - - k - k - k - + k + -k - k - k - - k - k - k נכון תמיד. n הראינו שהיא k 7k 5 k 7k 5 משפט סוגר: הראינו שהטענה נכונה עבור n, ומהנחת נכונות הטענה עבור k נכונה עבור + k. n לכן, על-פי אקסיומת האינדוקציה המתמטית, הטענה נכונה לכל n טבעי. 8

84 5 - - n + n + 4 ב. נמצא את מספר האיברים n. נשווה את סכום הטור ל n ( n + ) ( n + ) - : ( n + ) ( n + ) + 84 ( n + ) ( n + ) n + + n + 84 ( n + )( n + ) ( n + ) ( n + )( n + ) n + 5 6n + 5n + 6n + 5, 6n - 9n - 9 ± 7 n 5 מספר טבעי, n 5 : 5 לקבלת n נציב 5 n באיבר ( ) < 8 5 n( n + ) - - n + n + < Y - - < n + n > n + n + ג. צ"ל: על פי הנתון: n מספר טבעי. סכום שלושה מספרים חיוביים נותן תוצאה חיובית. לכן מתקיים לכל n טבעי. צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 84

85 נוסחה: + n - n ( ) d. א. בסדרה n איברים. S S - S n n n 4 S S n n נתון: נציב בנוסחת הסכום לסדרה חשבונית 4 n [ + ( n - ) d] n + ( n - ) d n( + nd - d) n( + nd - d) [ ] נחלק את שני אגפי המשוואה ב: n )n מספר טבעי( ( + nd - d) + nd - d 4 + nd - d + nd - d d ונקבל: נוסחה: S n + n n - d ( ) [ ] ב. נתון: n n n נציב בנוסחת האיבר הכללי לסדרה חשבונית + ( n - ) d ( n - ) d + + nd nd - d + 4 nd - d + + nd nd + 4 nd + d ומתוצאות סעיף א 4 8 d נקבל S מקום זוגי S S n n n n + n - d ( ) [ ] n + ( n -) 6 [ ] n( + 8n - 8) S n( 8n + 4) n S 8n + 4n n ג. 85

86 פתרון שאלה נסמן: - A הצלחה בבדיקה ראשונה. - B הצלחה בבדיקה שניה. P( B). 9, P( A). 8 נתון: P( רק באחת (הצלחה P( A B) + P( A B). P( A B) נסמן: סה"כ.9... A.7..8 B סה"כ P( A B). - על פי הטבלה: P( A B) + P( A B). 8 P( A B). 8 - (. - ) PA B). 5 + P( A B) + P( A B). ידוע כי: נציב: P( A B). א. 7 יעבור לפחות P בדיקה אחת - P A B - ( ) ב. משמעות הפתרון היא כי יש סיכוי של % שהמכשיר יעבור את אחת הבדיקות או את שתיהן. P( P B A B / A) ( ). P( A). 8 8 ג. צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 86

87 פתרון שאלה 4 O E b M A b C 9-b 9- B א. צ"ל: 9 CEB בניית עזר: OC,MB רדיוסים. 9 OCB MBC רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה MEB זווית בסיס במשולש שו"ש MEB MBE OCE זווית בסיס במשולש שו"ש OEC OCE b EBC 9 חיסור זווית חיסור זווית ECB 9 b CEB + b חישוב זווית ב- CEB השלמה ל- 8 זווית שטוחה 8 OEM 8 b + + b + סכום זוויות על ישר + b 8 /: + b 9 9 CEB מ.ש.ל. ב. ב- AEC, AEB A A זווית משותפת ECB 9 b מסעיף קודם על פי סעיף א': 9 - b AEB ACE AEB ACE )ז.ז( 87

88 יחס הדמיון AE AC EB CE AB AE AE AC AB מ.ש.ל. ג. נתון: 6 ס"מ AB, 9 ס"מ BC 5 ס"מ % AC נציב בתוצאת סעיף ב'. AE AE ס"מ AE ב- ACO משפט פיתגורס CO + AC AO נסמן: CO OE R AO AE + OE + R R + 5 ( + R) / R R + R 5 4R/ : R נציב: ב- ABM MB + AB AM משפט פיתגורס ME MB r נסמן: AE AM + ME AM + r AM r r) r + 6 ( - נציב: r r + r 4r 44 r.6, 6. ס"מ ס"מ תשובה: צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 88

89 פתרון שאלה 5 D C E א. ב- ABC, AOD 9 ADO רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה. 9 C נתון A 9 O B זווית משותפת A A AOD ~ ABC )ז.ז( מ.ש.ל. OD יחס הדמיון סעיף א'. BC AD AC ב. נתון: ס"מ R ס"מ OE OD רדיוסים נתון + רדיוס מאונך למשיק C E 9 D ODCE ריבוע - מלבן שבו זוג צלעות סמוכות )רדיוסים( שוות. ס"מ CE DC נתון: ס"מ AC 9 % ס"מ AD נציב בהתאם על פי יחס הדמיון ונקבל 9 BC תשובה: 8 ס"מ BC 89

90 A פתרון שאלה 6 B E 6 8 M 4 D 6 C משפט נקודת מפגש התיכונים מחלקת את התיכונים ביחס, : החלק הגדול הוא החלק הקרוב לקודקוד לכן נתון: AD, כלומר: 4 MD AM 8, AE cos6 נתון כי: 9 CE, כלומר: ME MC 6, o SAME 6 א. נתבונן ב- AME. לפי משפט הקוסינוסים:.7 ס מ 5.85 AB AE 5.85 AB AE + EB AE EB DC cos6 נתבונן ב- DMC : 7.6 ס מ.6 BC DC.6 BC BD + DC, BD DC c b b cosγ cos תשובה: 7.6 ס"מ BC,.7 ס"מ AB ב. נתבונן ב- ADB. נסמן: S ADB לפי משפט הקוסינוסים: - + cosγ + b + c נבודד מתוך הנוסחה את : cosγ b נציב על-פי הנתונים: AD + BD - AB AD BD צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 9

91 cos..6 תשובה: 76.5 הערה: תיכון מחלק משולש לשני משולשים שווי שטח, לשניהם צלע וגובה לצלע זהים. ג. לכן: S S ABD ADC S ABC AD BD sin S ABD.6 sin 76.5 o S ABC תשובה: 4.6 סמ"ר ד. נמצא את BABC זוויות צמודות לכן המרובע אינו בר חסימה. S ABD AB BD sinbabc sin BABC 4. 6 BABC BEMD BABC + BEMD > 8 AC cos AC.. sin R R ה. 9

92 f ( ) + 6 פתרון שאלה 7 א. נתונה הפונקציה f '( ) ( ) ( ) 64 y ( + 6) נגזור לקבלת שיפוע המשיק: משוואת המשיק בנקודה ),(: + 6 תשובה: y - d ב. חישוב השטח: 44 * * הסבר למטה תשובה: * נשתמש בשיטת "הניחוש" כלומר על פי זיהוי הנגזרת הפנימית או החיצונית. נגזור את הביטוי * כדי לבדוק שאכן מתקבל הביטוי בתוך האינטגרנט. או * נשתמש בשיטת ההצבה: u נסמן: + 6 על-ידי גזירה של שני האגפים נקבל: du d du d נחליף ביטוי זה ב- d באינטגרל du du + 6 u u d + u 6 צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 9

93 g'( ) g'( ) ( ) < - ( + 6) g'( ) g( ) + 6. תחום הגדרה: נגזרת הפונקציה ג. < ) g'( לכל לכן הפונקציה יורדת לכל בתחום הגדרתה.. גרף הפונקציה ) : g( y y - אסימפטוטות: + y - y - 4 V π π 4 4 π d π d 4 6 d π d π ( -) π. V 4 π d π π - π π 4 4 V. 5π -. תשובה: 5π π 9

94 פתרון שאלה 8 ( ) א. + 4 f נגזור פעמיים את הפונקציה כדי לבדוק את סימן הנגזרת השנייה: f ( ) + + f ( ) 4 ( f ( הוא ביטוי חיובי, הפונקציה קעורה כלפי מעלה + + הוא ביטוי חיובי לכל > ולכן כאשר 4 בכל תחום הגדרתה. ב. למציאת נקודת השקה נסמנה ב- (4 + t (,t t ונשווה בין שיפוע לפי נגזרת ובין שיפוע לפי נוסחה, כלומר: שיפוע לפי נוסחה שיפוע לפי נגזרת נוסחה לחישוב שיפוע y - y m - } f t t t + - t t t + ( t) t - t ( ) t t t t + 8 t t 8 t 64 t 4 נקודת ההשקה: ) 4, ( 4 f ( 4) שיפוע המשיק: y משוואת המשיק: צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 94

95 ג. (,4) (4,) (,) חישוב השטח:.5 ( 4 ) ( 4 ) 4 4 S + - d + - d ( ) ( ) ( ) ד. V π + 4 d - π d π d - π 9 d π π π ( ) - π ( ) π - 9π 8.4π y. 5 g( ) f ( ) (- ) ה. תחום הגדרה: (, 4)min. 5 g'( ) -. 5( - ) g''( ). 5( - ) 4 - יורדת לכל g( ) לכן g'( ) < קעורה כלפי מעלה לכל g( ) לכן g''( ) > 95

96 פתרון שאלה 9 נסמן: צלע הבסיס. נתון כי נפח התיבה 4 סמ ק. נוסחה לחישוב נפח: גובה X שטח הבסיס V נקבל את גובה התיבה h מבוטא באמצעות. 4 4 h h שטח שני הבסיסים:. עלות הבסיסים: ועלותן: 4 שטח ארבע פאות צדדיות: הפונקציה שנבנה מייצגת את ההוצאות על החומר: 56 ( ) + f f ( ) : ( ) f מינימום f ( ) ] Z ממדי התיבה שעבורם ההוצאות על החומר מינימליות: + תשובה: אורך צלע הבסיס: ס מ 4 ( ) גובה התיבה:.69 ס"מ צילום ו/או העתקה מספר זה הנו מעשה לא חינוכי המהווה עבירה פלילית. 96